『Rによる実証分析 回帰分析から因果分析へ』の不親切な点に関するメモ

ISBN: 978-4274219474

pp.68-69

\[\begin{eqnarray} MSE &=& \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \underbrace{ (y_i - y^*)^2 }_{展開} \nonumber \\ &=& \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n (y_i^2 - 2 y_i y^* + {y^*}^2) \nonumber \\ &=& \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n y_i^2 - \frac{2}{n} y^* \sum_{i = 1}^n y_i + \frac{1}n {y^*}^2 \underbrace{ \sum_{i = 1}^{n} 1 }_{n} \nonumber \\ &=& \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n y_i^2 - \frac{2}{n} y^* \sum_{i = 1}^n y_i + {y^*}^2 \nonumber \\ &=& \underbrace{ (y^* - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n y_i)^2 - (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n y_i)^2 }_{y^*に着目して平方完成} + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n y_i^2 \nonumber\end{eqnarray}\]

上の変形より、を最小化するための条件が

\[\begin{equation} y^* - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n y_i = 0 \Leftrightarrow y^* = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n y_i \end{equation}\]

であるとわかる。